Chapitre 1# Comment se repérer dans l’espace ?# À l’aide de la règle et le compas, on peut tracer une droite perpéndiculaire à une droite donnée. Système de coordonées cartésiennes orthonormées# On se place dans un point dans le plan (1)#\[\begin{split}A = \begin{pmatrix} a^1 \\ a^2 \end{pmatrix}\end{split}\] Ainsi, on peut definir un deuxième point \(B\) (2)#\[\begin{split}A = \begin{pmatrix} b^1 \\ b^2 \end{pmatrix}\end{split}\] On peut definir le vecteur \(\vec{AB}\) à partir de couple de coordonées. (3)#\[\begin{split}A = \begin{pmatrix} b^1 - a^1 \\ b^2 - a^2 \end{pmatrix}\end{split}\] Dans le plan, l’origine est donn’ par le point \(O\). Maintenant, le point M (quelconque) de coordonnées \(x^1\) et \(x^2\) où, \[x^1 = b^1 - a^1\] et \[x^2 = b^2 - a^2\] On pourrait écrire que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{OM}\) sont identiques. \[v = AB = OM\] Note \(\vec{AB}\) et \(\vec{OM}\) sont deux represéntants d’un même vecteur v Vecteurs identiques# Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont identiques si eux, ils forment un parallélogramme. Rélation de Chasles# Soient deux vecteurs \(u\) et \(v\). \[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}u = \begin{pmatrix} u^1 \\ u^2 \end{pmatrix} \\\end{split}\\\begin{split}v = \begin{pmatrix} v^1 \\ v^2 \end{pmatrix}\end{split}\end{aligned}\end{align} \] On définit la somme \(w\) de ces deux vecteurs. \[\begin{split}u^1+v^1 \\ et \\ u^2+v^2\end{split}\] On répresente aussi \(u\) par \(\vec{AB}\) et \(v\) par \(\vec{BC}\) la loi de composition donnée montre que: \[w = AC\] Ainsi, \[\begin{split}w = u + v \\ w = AB + BC\end{split}\] Note La loi de composition \(\textbf{interne}\) est associé a la \(\textbf{somme}\). La loi de composition \(\textbf{externe}\) est associé au \(\textbf{produit vectorielle}\).
Comment se repérer dans l’espace ?#
À l’aide de la règle et le compas, on peut tracer une droite perpéndiculaire à une droite donnée.
Système de coordonées cartésiennes orthonormées#
On se place dans un point dans le plan
Ainsi, on peut definir un deuxième point \(B\)
On peut definir le vecteur \(\vec{AB}\) à partir de couple de coordonées.
Dans le plan, l’origine est donn’ par le point \(O\). Maintenant, le point M (quelconque) de coordonnées \(x^1\) et \(x^2\) où,
et
On pourrait écrire que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{OM}\) sont identiques.
Note
\(\vec{AB}\) et \(\vec{OM}\) sont deux represéntants d’un même vecteur v
Vecteurs identiques#
Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont identiques si eux, ils forment un parallélogramme.
Rélation de Chasles#
Soient deux vecteurs \(u\) et \(v\).
On définit la somme \(w\) de ces deux vecteurs.
On répresente aussi \(u\) par \(\vec{AB}\) et \(v\) par \(\vec{BC}\) la loi de composition donnée montre que:
Ainsi,
Note
La loi de composition \(\textbf{interne}\) est associé a la \(\textbf{somme}\).
La loi de composition \(\textbf{externe}\) est associé au \(\textbf{produit vectorielle}\).