Méthodes mathématiques complémentaire

Chapitre 1: Fonctions et intégrales

1.1 Continuité et dérivation

Limite

Une fonction f admet la limite \(l\) en \(x=a\) si et seulement si \( \forall \epsilon \gt 0, \exists \eta \gt 0 \) tel que \( \forall x \), \( \left| x - a \right| \le n \Rightarrow \left| y - l \right| \le \epsilon \).

\[ l = \lim_{x \to a} f(x) \hspace{1cm} ou \hspace{1cm} f(x) \rightarrow_{x \to a} l \]

Exemple

On a la fonction \( f(x) = x^2 \) définie sur \(\mathbb{R}\) admet \(l=4\) en \(x=2\). On peut dire:

\[ \left| f(x) - 4 \right| = \left| x^2 - 4 \right| = \left| x - 2 \right|\left| x + 2 \right| \]

Si on pose:

\[ 1 \lt x \lt 3 \rightarrow 3 \lt x + 2 \lt 5 \hspace{1cm}\text{et} \left| x + 2 \right| \lt 5\]

Soit

\[ \left| f(x) - 4 \right| \le 5 \left| x - 2 \right| \]

Il suffit d’avoir \(\left| x -2 \right| \lt \epsilon / 5\) pour obtenir \(\left| f(x) - 4 \right| \lt \epsilon\).

La limite à droite de \(a\) est \(\infty\) si:

\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = + \infty \Leftrightarrow \forall \epsilon \gt 0, \exists X \gt 0 / \forall x, a \lt x \le a+\eta \Rightarrow f(x) \ge M \]

La limite à gauche peut être définie de la même manière.

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = l \Leftrightarrow \forall \epsilon \gt 0, \exists X \gt 0 / \forall x, X \le x \rightarrow \left| f(x)-l \right| \le \epsilon \]

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \Leftrightarrow \forall \epsilon \gt 0, \exists X \gt 0 / \forall x, X \le x \rightarrow f(x) \ge M \]

Continuité

Une fonction \(f\) est continue en \(x=a\) si:

\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]

Si \(f\) est continue en \(x=a\), alors \(f\) est continue en \(x=a^+\) et \(x=a^-\).

Soit \(I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), si \(I\) est un intervalle de type \(\left[ a,b \right], \left[ a,b \right[\) alors, \(f(I)\) est aussi un intervalle.

Si \(I\) est un intervalle fermé de type \(\left[ a,b \right]\) alors, \(f(I)\) est aussi un intervalle fermé.

Dérivation

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). On dit que \(f\) est dérivable en \(x=a\) si:

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \]

Pour que la dérivée existe, il faut que \(f\) soit continue en \(x=a\). C’est necessaire mais pas suffisante.

Aussi, si \(g\) est dérivable en \(x\) et \(f\) dérivable en \(y=g(x)\), alors:

\[ f[g(x)] \hspace{1cm} \text{est dérivable} \hspace{1cm} (f[g(x)])' = f'[g(x)]g'(x) \]

Dérivée d’une fonction inverse

Soit \(f\) une fonction bijective de \(I\) vers \(f(I)\). On suppose \(f\) dérivable en \(y=f^{-1}(x)\) tel que \(f'(f^{-1}(x)) \neq 0\). Alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(x=f(y)\).

De plus:

\[ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \]

Exemple \(f(x) = x\):

\[ f(x) = x \rightarrow f(f^{-1}(x)) = x \rightarrow f'(f^{-1}(x))(f^{-1})(x) = 1 \]

Exemple \(f(x) = x^2\):

\[ f(x) = x^2 \]

\[ f'(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{f(x-\epsilon)-f(x)}{\epsilon} = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{(x+\epsilon)^2-x^2}{\epsilon} \]

\[ f'(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{x^2+2\epsilon x + \epsilon^2 - x^2}{\epsilon} \]

\[ f'(x) = 2x \]